Question

高中数学数列！高分！

已知数列｛an｝中，a1＝1，an＋1＋an＝3＊2^（n＋1） ，求an 的通项公式

Answer 1

答案应该是：an=(-1)^n＊4＊[1-(-2)^(n-1)]+(-1)^(n-1)，下面是步骤。

Answer 2

解：由A1=1，A(n+1)+An=3×2^(n+1).可知，A1=1,A2=11,A3=13,A4=35.且A(2n)+A(2n-1)=3×2^(2n),且A(2n+1)+A(2n)=3×2^(2n+1),两式相减得A(2n+1)-A(2n-1)=3×2^(2n),∴A3-A1=3×2²,A5-A3=3×2^4,A7-A5=3×2^6,...A(2n-1)-A(2n-3)=3×2^(2n-2). 累加可得:A(2n-1)-A1=4^n-4.===>A(2n-1)=-3+2^(2n).(n=1,2,3,...).∴A(2n)=3×2^(2n)-A(2n-1)=3+2^(2n+1).因此可知A(2n-1)=-3+2^(2n),A(2n)=3+2^(2n+1).n=1,2,3...合起来就是An=[3×(-1)^n]+2^(n+1),n=1,2,3....

Answer 3

我是这样解答的：
两边同时乘以 (-1)^(n+1),得到 (An+1)*(-1)^(n+1)+An*(-1)^(n+1)=3＊（-2）^（n＋1）
这类题目的重点就是将An和An+1之间变成相减，上式左边第二项提出一个负号变成
(An+1)*(-1)^(n+1)-An*(-1)^n=3＊（-2）^（n＋1），
设Bn=An*(-1)^n得到Bn+1 - Bn =3＊（-2）^（n＋1），其中B1=-1
列项相减法: Bn-B1=3＊（-2）^1+3＊（-2）^2，3＊（-2）^3+。。。+3＊（-2）^n
Bn=B1+3＊（-2）＊{1-（-2）^n}/3
算出Bn再除以（-1）^n就是An了

这类题目延伸一下 比如 An+1 +2An =3＊2^（n＋1)

就要两边乘以 (-1/2)^(n+1)，这样才能保证BN和BN+1永远错个负号，而且系数都是1

Answer 4

http://hi.baidu.com/lca001/blog/item/8276ca1d3c13419a87d6b6ac.html
解a1＝1, a2+a1＝3×2^2=12, 故得a2=12-a1=11,
由条件
an＋1＋an＝3×2^(n＋1),(1)
an＋an-1＝3×2^n,
2an＋2an-1＝3×2^(n＋1), (2)
(1)- (2)得
an＋1-an-2an-1=0，an＋1=an+2an-1，
2阶递推公式的特征方程为
x^2-x-2=0
解得x=2,x=-1,
设an 的通项公式为an=A×2^n+B×(-1)^n,将a1＝1,a2=12-a1=11代入得
a1=2A-B=1
a2=4A+3=11
解得A=2,B=3
故an 的通项公式为an=2^(n+1)+3(-1)^n。

Answer 5

an＋1+an=3*2^(n+1)
2an+1=3×2^(n+1)
an=[3×2^(n+1)－1]/2
因为a1=1给定.且不符合以上通式，
所以用数学归纳法，得
通式：an=1 (n=1)
an=[3×2^(n+1)－1]/2 (n>1)