Question

大学数学概率题:

大学数学概率题:一种电梯的最大承载重量为1000公斤,假设该电梯一次进入了15人，如果每个人服从N(60, 15^2), 则超重概率为？(答案是0.0426)

Answer 1

根据中心极限定理，当样本量足够大时，服从任意分布的样本均值的分布近似服从正态分布。所以，假设每个人的重量服从均值为60，标准差为15的正态分布，则15个人的总重量服从均值为900，标准差为sqrt(15^2 * 15) = 54.77的正态分布。
超重的条件是电梯内的总重量超过了1000公斤，所以需要计算出电梯内总重量超过1000公斤的概率。这个概率可以通过计算标准正态分布的累积分布函数得到。设Z为标准正态分布的随机变量，则有：
Z = (1000 - 900) / 54.77 ≈ 1.825
超重的概率为：
P(Z > 1.825) ≈ 0.0344
因此，超重的概率约为0.0344，不等于题目中给出的答案0.0426。这个结果可能是因为题目中的人数和标准差的值有所不同导致的。

Answer 2

追问

哦我看懂你的步骤了，但是我是算一个人超重概率，最后再取15次方为什么算不到呢？

追答

这种情况是讨论由15个随机变量的和构成的整体，整体超重并不等价于每个人都超重，换句话讲整体超重并不需要每个人都要超重

追问

谢谢

Answer 3

利用概率密度函数的归一性，也就是在R上的积分值=1
∫Ax²e^(-x²/b)dx
=0.5A∫xe^(-x²/b)dx²
=-0.5Ab∫xd(e^(-x²/b))
=-0.5Abxe^(-x²/b)在0到正无穷大的增量+0.5Ab∫e^(-x²/b)dx
=0.5Ab√b*∫e^(-x²/b)d(x/√b)
=0.25Ab√π√b=1
所以A=4/(b√b√π)
其中用到了欧拉积分∫e^(-x²)dx=0.5√π，积分区间都是0到正无穷大 ，因为题目限制了x>0