Question

设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限.

Answer 1

证明：

∵ xn > 0

∴x(n+1)^2 = 6 + xn

∴x(n+1)^2 - 9 = xn - 3

∴x(n+1) - 3 = (xn - 3) / (x(n+1) + 3)

∵ x1 > 3, 由上式 xn > 3 对一切xn成立

∴x(n+1) - 3 = (xn - 3) / (x(n+1) + 3) < （xn - 3）/3

即 {xn-3 | n = 1, 2,...} 是正数递减序列， 所以极限存在。

得到其极限为0，所以原数列极限为3。

扩展资料

性质：

设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界。

例如∑1/n！收敛，因为：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/22+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

极限为0.5*（1+根号5）.证明：设f（x）=1+(Xn-1/（1+Xn-1）),对f（x）求导,得导数为正,f（x）单调递增,又f（x）=1+(Xn-1/（1+Xn-1）)小于2,有上界.利用单调有界定理知其极限存在.对Xn=1+(Xn-1/（1+Xn-1）)俩边取极限,设xn的极限为a（n趋向无穷大）可得a=1+a/（1+a) 解这个方程,结果取正就可以了.

Answer 4

Xn=1+(Xn-1/（1+Xn-1））>1，Xn=2-1/（1+Xn-1）<2，故Xn有界收敛。
设极限为C，则C=2-1/（1+C），C=（1±√5）/2，排除负数解，故极限为（1+√5）/2