Question

求助：数学题

直角三角形ABC中，∠C=90º，BD平分∠ABC交AC于D。求证：BC²／BD²＝AC/2AD
由于孩子现在是初中，还没有学三角函数，要求用相似的方法求证，拜托了！这道题连老师都难住了，现在也和学生一起努力寻求突破。

Answer 1

证明如下：

tan∠CBD=DC/BC，tan∠CBA=AC/BC，又因为BD平分∠ABC交AC于D，所以AC/BC=tan∠CBA=tan2∠CBD=2tan∠CBD/1-tan^2∠CBD=（2DC/BC）/(1-DC^2/BC^2),

Answer 2

作DE⊥AB于E，连接CE。则DE=CD，CE⊥BD。
则四边形BCDE的面积=2×△BCD的面积，即得BD×CE=2BC×CD。于是知BC/BD=CE/2CD。
从而BC²／BD²=(BC×CE)/(BD×2CD)=(CE/BD)×(BC/2CD)
又由于B、C、D、E四点共圆易知，△ACE∽△ABD，从而CE/BD=AC/AB
于是BC²／BD²=(CE/BD)×(BC/2CD)=(AC/AB)×(BC/2CD)=(AC/2CD)×(BC/AB)
又BC/AB=(BC×CD)/(AB×DE)=△BCD的面积/△BAD的面积=CD/AD。
所以BC²／BD²=(AC/2CD)×(BC/AB)=(AC/2CD)×(CD/AD)=AC/2AD

Answer 3

用三角函数
BC/BD=cos角DBC
AC/2AD=（AD+DC）/2AD=1/2+DC/2AD
过D做AB边垂线交AB于E，DE=DC
DC/AD=DE/AD=sin角A=cosABC=cos（2DBC）=2cos^2 DBC -1
AC/2AD=1/2+cos^2 DBC-1/2=cos^2 DBC=BC^2/BD^2