Question

用极限的定义证明lim3x/(2x-1)=3,x趋向于1

Answer 1

任给ε>0

欲使0<│3x/（2x-1）-3│<ε

即-ε<（3-3x）/（2x-1）<ε

无妨令x>0.9，则2x-1>0.8

-0.8ε/3<（1-x）<0。8ε/3

取δ=min（0.8ε/3，0.1）

当│x-1│<δ时，有0<│3x/（2x-1）-3│<ε

∴x趋向于1时，lim3x/（2x-1）=3

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

任给ε>0,欲使
0<│3x/(2x-1)-3│<ε,
即-ε<(3-3x)/(2x-1)<ε
无妨令x>0.9,则2x-1>0.8
-0.8ε/3<(1-x)<0.8ε/3
取δ=min(0.8ε/3,0.1)
那么，当│x-1│<δ时，有0<│3x/(2x-1)-3│<ε,
∴x趋向于1 时，lim3x/(2x-1)=3