Question

求数学大师，（x+h）ⁿ-xⁿ即x和h之和的n次方减去x的n次方，怎么展开，谢谢

Answer 1

可利用组合数公式展开。

根据组合数公式

(x + h)^n = C(n, 0) * x^n + C(n, 1) * x^(n-1) * h + C(n, 2) * x^(n-2) * h^2 + ... + C(n, n) * h^n

则(x + h)^n - x^n

=  C(n, 0) * x^n + C(n, 1) * x^(n-1) * h + C(n, 2) * x^(n-2) * h^2 + ... + C(n, n) * h^n - x^n

= C(n, 1) * x^(n-1) * h + C(n, 2) * x^(n-2) * h^2 + ... + C(n, n) * h^n

其中C(n, m) = m! * (n-m)! / n!，即C(n, 0) = 1，C(n, 1) = n，C(n, 2) = n * (n-1) / 2等。

拓展一下

由上式可知：(x + h)^n - x^n中每一项均含有h，故进行分解后可将h提出，得

(x + h)^n - x^n = h * [C(n, 1) * x^(n-1) + C(n, 2) * x^(n-2) * h + ... + C(n, n) * h^(n-1)]

若x和h均为整数，则可以说h是(x + h)^n - x^n的一个因子或(x + h)^n - x^n可被h整除。

Answer 2

先利用二项式展开定理处理第一项

Answer 3

追答

请参考这个公式

不懂欢迎继续问