Question

设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1。证明：2x-∫(0~x)f(t)dt=1在[0,1]上只有一个解

设f(x)在[1,4]上可导，且1/2∫（2~4）f(x)/xdx=f(1)。证明：在（1,4）内至少存在一点t,使f'(t)=f(t)/t

题目和详细提问里是不同的问题。谢谢~
一遇到证明题就毫无头绪啊啊啊

Answer 1

楼主你好，又见面了。下次请将两题分开提问，你懂的，谢谢。。。
第一题，
证：令F(x)=2x-∫(0~x)f(t)dt-1
F'(x)=2-f(x)
又f(x)<1,
所以F'(x)>0
所以F(x)在[0,1]上为增函数
又F(0)=-1<0, F(1)=2-∫(0-1)f(t)dt-1
又根据积分中值定理有，至少存在一点ξ∈[0,1]，使得
∫(0-1)f(t)dt=f(ξ)<1
即F(1)>0
所以，F(0)×F(1)<0
根据零点存在定理，
至少存在一点c∈(0,1)属于[0,1]，使得F(c)=0
结合前面的F(x)在[0,1]为增函数，
所以，原命题得证。

第二题，
证：令F(x)=f(x)/x
根据积分中值定理，至少存在一点ξ∈[2,4]，使得
(1/2)∫(2-4)f(x)/xdx=f(ξ)/ξ=f(1)
又因为F(1)=f(1)/1=f(ξ)/ξ=F(ξ)
所以对F(x)在区间[1,ξ]属于[1,4]应用罗尔定理，得
至少存在一点t∈(1,ξ)属于(1,4)，使得
F'(t)=[tf'(t)-f(t)]/(t^2)=0
即f'(t)=f(t)/t
所以，原命题得证。