Question

为什么AX=0的解均是A*X=0的解?(A*是零矩阵)。

Answer 1

设A和A*都是n阶矩阵，A*=O 则它的基础解析向量个数为n-r（A*）=n-0=n，可知n个n维线性无关的向量可以线性表示任意向量，即A*x=0的基础解析可以线性表示任何n维向量，且被线表的向量也是基础解析对应的方程的解。

性质：

m×n 的零矩阵O和m×n的任意矩阵A的和为 A + O = O + A = A ，差为 A-O=A，O-A=-A。

l×m 的零矩阵 O 和 m×n 的任意矩阵 A 的积 OA 为 l×n 的零矩阵。

l×m 的任意矩阵 B 和 m×n 的零矩阵 O 的积 BO 为 l×n 的零矩阵。

幂零矩阵：

在线性代数中，对于n阶方阵N，存在正整数k，使得N^k=0，这样的方阵N就叫做幂零矩阵。满足条件的最小的正整数k被称为N的度数或指数。更一般来说，零权变换是向量空间的线性变换L，使得对于一些正整数k（并且因此，对于所有j≥k，Lj = 0），L^k= 0。

幂零矩阵是幂零元──一个更加一般的概念的特殊情况，不仅可以应用于矩阵和线性变换，也可以应用于环的元素。

以上内容参考：百度百科-零矩阵

Answer 2

对于方程组AX=0，显然有零解，
如果|A|不为0，则A可逆，等式两边同时左乘A逆，得到
X=0，即只有零解。
如果|A|=0，则系数矩阵不是满秩的，也就是说方程组中有些方程是多余的（可以初等行变换，化为0）
从而有无穷多的解（可以通过基础解系来表示）。

对于方程组AX=b，原理类似，
如果|A|不为0，则A可逆，等式两边同时左乘A逆，得到
X=A逆b，即只有唯一解。
如果|A|=0，就要分两种情况来讨论：
1）r(A) =r(A|b) 此时有无穷多组解
2）r(A)不等于r(A|b) 此时方程组无解

Answer 3

设A和A*都是n阶矩阵
A*=O 则它的基础解析向量个数为n-r（A*）=n-0=n
可知n个n维线性无关的向量可以线性表示任意向量 即A*x=0的基础解析可以线性表示任何n维向量 且被线表的向量也是基础解析对应的方程的解
那么Ax=0的解向量肯定也被包含在A*x=0的解空间当中

实际上 当A*=O时 A*右乘任何n阶向量结果都是0 那么A*右乘Ax=0的解向量 肯定也是0
这样理解比较方便