Question

设m，n为实数，且满足m^3+n^3+3mn=1，求m+n的值

Answer 1

设m+n=t
则：t³=(m+n)³
=m³+n³+3mn(m+n)
=m³+n³+3mn+3mn(m+n-1)
=1+3mn(m+n-1) =1+3mn(t-1)
所以：t³-1=3mn(t-1)
所以：(t-1)(t²+t+1)=3mn(t-1)
所以：t=1或者3mn=t²+t+1
对于t=1，m³+n³+3mn=1恒成立，即此时m+n=1

对于3mn=t²+t+1，m、n分别为x²-t*x+(t²+t+1)/3=0的二根，
判别式为t²-4*(t^2+t+1)/3=-(t+2)²/3，当t=-2时有解，此时mn=(t^2+t+1)/3=1，m+n=t=-2，得到m=n=-1

所以，m+n=1或者m+n=-2