Question

已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx(x>0,a为常数),对任意两个不相等的正数x1,x2,证明:当a<=0时，[f(x1)+f(x2)]/2>f

已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx(x>0,a为常数),对任意两个不相等的正数x1,x2,证明:当a<=0时，[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2].

Answer 1

我给你简单分析一下：
[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]从图像上看就是（x1，f（x1））与（x2，f（x2））的中点高于f函数图像x1，x2的中点。画出图来函数f显然是一个导数的导数>0的函数。
证明：
因为f(x)=x^2+2/x+alnx
所以f(x)‘’=2+4/（x^3）-a/(x^2),而且x>0(定义域)
因为a<0
所以f(x)‘’=2+4/（x^3）-a/(x^2)>0
所以[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]

Answer 2

本题即证明函数 f(x)=x^2+2/x+alnx 当常数a≤0时为区间（0,+∞)h上的下凸函数（或称凹函数）
即只须证明f(x)的二阶导数在给定的区间内恒大于等于0,
∵ f'(x)=2x-2/x^2+a/x, f''(x)=2+2/x^3-a/x,∵a≤0 , ∴ 当x∈（0，+∞）时，f''(x)>0恒成立，
∴ f(x)是区间（0，+∞）上的下凸函数，
∴对任意两个不相等的正数x1,x2,:当a<=0时，[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2].