Question

一道微积分题求解答

一道微积分题求解答f（x）在［-π，π］上连续，∫（0→π）xf（sinx）dx＝π/2 ∫（0→π）f（sinx）dx 这是推论也很容易证明
为什么∫（0→π）xsinxcosxdx＝π/2
∫（0→π）sinxcosxdx不满足上面那个推论 sinxcosx不是可以看做f（sinx）吗？
求高手解答

Answer 1

原因在于，在[0，兀] 的不同区间上，f(sinx) 的表达式不统一。
具体说，在[0，兀/2] 上， sinxcosx = sinx*√[1-(sinx)^2] ，
但在 [兀/2，兀] 上，sinxcosx = -sinx*√[1-(sinx)^2] 。

追问

就是说f（sinx）有分段的情况下这个式子是不能用的吧

Answer 2

sinx=sin（π-x），cosx≠cos（π-x）

追答

要看也是看成f（sinxcosx）怎么能想当然的看成f（sinx）