Question

数学集合题

我在自学高等数学，这是第一章，有几个问题帮我解答一下，谢谢了。
我的问题：
1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。
2、在平面直角坐标系中，集合C＝{(x,y)|y=x}表示直线y＝x，从这个角度看，集合D={(x,y)|方程组：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。
3、已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|(x-1)(x-a)=0}。试判断B是不是A的子集？是否存在实数a使A＝B成立？
4、对于有限集合A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？
5、无限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？
帮帮忙吧，我想参加计算机专业自考，高中时数学就没学好！

Answer 1

1.A∪B={x|x是参加一百米跑或二百米跑的同学}
A∪B是并的关系，表示只要是参加一百米跑或二百米跑的同学都包含在内，当然两项都参加的也包含在内
A∩B={x|x是参加一百米跑并且同时也参加二百米跑的同学}
A∩B是且的关系，要求条件同时满足
2. 集合D表示的满足方程组的点，即只包含一个点，通过求解得知，D＝{（1，1）}
所以集合D是集合C的一个子集，即集合D包含于集合C（“包含于”数学符号不好打出）
3.B不是A的子集
因为A表示的是一个范围，即在1到3之间的值所组成的一个集合，而集合B表示的是两个点的集合，即B＝{1，a},所以也不存在实数a使A＝B成立
如果B＝{x|(x-1)(x-a)≤0},则当实数a＝3时A＝B成立

4. 交集元素个数≤并集元素个数≤三个集合中元素个数
5.A表示正整数的集合，B表示正偶数的集合，B是A的子集，但是两个集合都是无限集合，无法比较两个集合中元素的个数
如果真需要设计方法，可以这样设计：A＝{x|x=2n-1或x=2n,n≥1且为整数}，而B＝{x|x=2n,n≥1且为整数}，这样就可以看出B是A的一个子集

Answer 2

1.这项规定就是不可能有人三项都参加，也就是A∩B∩C=空集（空集符号不会打，你应该知道）
A∪B表示参加100米和参加200米的所有人（当然也包括这两个都参加的）
A∩B表示既参加100米又参加200米的人
2.D表示两条直线2x-y=1和x+4y=5的交点，容易计算这个交点就是点（1，1）。而这个点（1，1）在C所表示的直线上，所以集合语言表示集合D属于集合C，几何上就代表这三条直线交于一点（1，1）。
3.B的解是X=a或1，当a大于等于1小于等于3的时候，B才是A子集，其他时候不是。不存在a让A=B
4.card(A)+card(B)+card(C)=card(A∪B∪C）+card（A∪B）+card（A∪C）+card（B∪C)-card(A∩B∩C) card就是代表对应集合中元素个数
5.一样多，方法是对应法，A中每个元素有且只有一种方法也就是以y=2x的方法映射到B

Answer 3

1.⑴、A∪B=｛x|x是参加一百米跑的同学或者参加二百米跑的同学｝，
⑵、A∩B=｛x|x是既参加一百米跑的同学又参加二百米跑的同学｝，
2.两条直线交点
3.1<=a<=3 是 不成立
4.可以交集是并集的子集
5. 两个集合中元素个数一样多

Answer 4

1. A∩B∩C=空集；AUB表示参加一百米和二百米跑的同学集合；A∩B同时参加一百米和二百米跑的同学集合
2.D={(x,y)|方程组：2x-y=1,x+4y=5}表示点(1,1);C包含D；(1,1)是直线y=x上一点。
3.当1≤a≤3时B是A的子集，当a<1或a>3时B不是A的子集；不存在实数a使A＝B成立
4.这三个集合中元素个数大于等于交集的元素个数，小于等于交集
5.不能，因为他们都数不清，是无穷大

Answer 5

这好像不是高等数学吧，嘿嘿，第一题：设全校参加比赛的学生为全集U，U=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C。A∪B意思是参加了一百米或二百米的学生，A∩B是既参加一百米又参加二百米的学生。
3：B可能是也可能不是，要看B的取值范围，（分类讨论），不存在实数a
4：能。关系有很多啊，比如A+B=A∪B+A∩B.
5：两个集合元素一样多，因为不妨去对应关系y=2x，则两个集合一一对应。事实上，对于无穷大和无穷小的比较是看谁的阶数更高，学完极限上了大学就懂啦。
这是我第一次回答问题，希望对你有帮助。