Question

一道高数求极限

Answer 1

lim [√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x√(1+sin²x)-x]
=lim [(1+tanx)-(1+sinx)][x√(1+sin²x)+x]/x[(1+sin²x)-1][√(1+tanx)+√(1+sinx)]
=lim (tanx-sinx)[√(1+0)+1]/xsin²x[√(1+0)+√(1+0)]
=lim sinx*(1-cosx)/(xsin²xcosx)
=lim (1-cosx)/(xsinxcosx)【x->0，sinx~x,1-cosx~x²/2,cosx~1】
=lim x²/(2x²)=1/2

Answer 2

夹逼准则.
所有的分母都取为最大的一个或最小的一个,则
Σ(i/(n^2+n+i)＜(Σi)/(n^2+n+1)＝(n(n+1)/2)/(n^2+n+1)＝1/2×(n^2+n)/(n^2+n+1)＜1/2
Σ(i/(n^2+n+i)＞(Σi)/(n^2+n+n)＝(n(n+1)/2)/(n^2+2n)＝1/2×(n^2+n)/(n^2+2n)
1/2×(n^2+n)/(n^2+2n)的极限是1/2
所以由夹逼准则,lim(Σ(i/(n^2+n+i))＝1/2