1到N的平方和，立方和公式是怎么推导的
平方和Sn= n(n+1)(2n+1)/6，
推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,
.......
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式整理后得：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。
立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，
推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
......
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，
代人上式整理后得：
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
扩展资料：
平方和就是2个或多个数的平方相加。通常是一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。
平方和公式： 
证法五 （拆分，直接推导法）：
1=1
2²=1+3
3²=1+3+5
4²=1+3+5+7
...
(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]
n²=1+3+5+7+...+[2n-1]
求和得：
……(*)
因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²
代入(*)式，得：
此式即
分解步骤如下：
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3
解题时常用它的变形：
(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b) 和 a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)
(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³
立方和累加：
正整数范围中
注：可用数学归纳法证明
1. 假设公式对于n=k成立：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1) / 6
2. 证明公式对于n=k+1也成立：
考虑1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2，我们可以将它拆分成两部分：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 和 (k+1)^2
根据假设，我们知道1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1) / 6
而 (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1
将这两部分相加：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1) / 6 + (k^2 + 2k + 1)
化简上式：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k^3 + 3k^2 + 2k) / 6 + (k^2 + 2k + 1)
继续化简：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k^3 + 3k^2 + 2k + k^2 + 2k + 1) / 6
合并同类项：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k^3 + 4k^2 + 3k + 1) / 6
这正是n=k+1时平方和的公式。所以，根据数学归纳法，我们可以证明1到N的平方和的公式为：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2 = N(N+1)(2N+1) / 6
同样地，我们可以使用数学归纳法推导1到N的立方和的公式。假设公式对于n=k成立，证明对于n=k+1也成立。最终我们得到1到N的立方和的公式为：
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + N^3 = (N(N+1) / 2)^2
推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,
.......
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式整理后得：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。
立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，
推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
......
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，
代人上式整理后得：
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
= n^2
= n(n+1) -n
=(1/3)[ n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1) ] -(1/2) [ n(n+1) -(n-1)n]
Sn
=a1+a2+...+an
=(1/3)n(n+1)(n+2) -(1/2)n(n+1)
=(1/6)n(n+1)( 2(n+2) -3)
=(1/6)n(n+1)(2n+1)
--------
bn
=n^3
=(n-1)n(n+1) +n
=(1/4)[ (n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1)] + (1/2)[ n(n+1) -(n-1)n]
Tn
=b1+b2+...+bn
=(1/4)(n-1)n(n+1)(n+2) + (1/2)n(n+1)
=(1/4)n(n+1).[ (n-1)(n+2) +2 ]
=(1/4)n(n+1).( n^2 +n)
=(1/4)[n(n+1)]^2
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