Question

已知非负实数x，yz满足x+y+z=1，则t=2xy+yz+2zx的最大值为多少

Answer 1

解：∵正数x，y，z满足x+y+z=1，可得x=1-（z+y）＞0，解得0＜y+z＜1．
∴2xy+yz+2zx
=yz+2[1-（z+y）]（y+z）
=yz-2（z+y）^2+2（z+y）
≤(z+y)^2/4-2（z+y）^2+2（z+y）
=-7/4(z+y)^2+2（z+y）
=-7/4[（y+z）-4/7]^2+4/7，

当z+y=4/7时，取等号．
∴2xy+yz+2zx的最大值为4/7．

Answer 2

x+y+z=1
t=2xy+yz+2zx＝y(z+x)+x(y+z)+z(x+y)-zy
=y(1-y)+x(1-x)+z(1-z) - zy
=-x^2-y^2-z^2+x+y+z-zy
= -(x^2+y^2+z^2+zy)+1
所以t的最大值是1

Answer 3

t=2xy+2xz+yz<=2*[(x+y)/2]^2+2*[（x+z）/2]^2+[(y+z）/2]^2
即t<=2*[(1-z)/2]^2+2*[（1-y）/2]^2+[(1-x）/2]^2
当x=y=z=1/3时，t最大为5/9