Question

第九题求详细步骤

Answer 1

（1）先证r(C)<=r(A)+r(B)
根据矩阵的秩的定义，矩阵A所有列向量的极大线性无关组中的向量个数为r(A)
C的n+s个列向量中，前n列的向量都可以通过A中的r(A)个极大线性无关向量组线性表示；后s列的向量都可以通过B中的r(B)个极大线性无关向量组线性表示
也就是说，C的所有列向量，都可以通过r(A)+r(B)个列向量线性表示，即r(C)<=r(A)+r(B)
（2）再证max{r(A),r(B)}<=r(C)
因为A中极大线性无关的向量组，在C中，也是线性无关的，而B中列向量是否能通过A中极大线性无关向量组线性表示，是未知的。若能表示，则r(A)=r(C)，否则r(A)<r(C)
即r(A)<=r(C)
同理可得r(B)<=r(C)

从而max(r(A),r(B))<=r(C)

综上所述，max(r(A),r(B))<=r(C)<=r(A)+r(B)