Question

复变方程怎么解 sinz+cosz=2？

Answer 1

显然z需为复数，令z=a+ib，

cosz=(e^iz+e^(-iz))/2

sinz=(e^iz-e^(-iz))/(2i)

代入得：

e^iz+e^(-iz)-ie^iz+ie^(-iz)=4

e^(-b+ia)+e^(b-ia)-ie^(-b+ia)+ie^(b-ia)=4

e^(-b)(cosa+isina)+e^b(cosa-isina)+e^(-b)(sina-icosa)+e^b(sina+icosa)=4

对比实部与虚部得：

e^(-b)(cosa+sina)+e^b(cosa+sina)=4               1）

(cosa-sina)(e^b-e^(-b))=0, 得：cosa-sina=0或e^b-e^(-b)=0，前者得tana=1, a=kπ+π/4, 后者得b=0

当a=kπ+π/4时，sina+cosa=(-1)^k √2,代入1）式得：e^(-b)+e^b=(-1)^k 2√2, 因左边为正数，所以有k为偶数2n。此时a=2nπ+π/4, e^(-b)+e^b=2√2, 解得：b=±ln(√2+1)

当b=0时，代入1）式得：cosa+sina=2, 没解,

综合得原方程的解为：z=2nπ+π/4±iln(√2+1)  , n为任意整数。

内容

复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。

对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。

现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。