Question

过椭圆X^2/25+Y^2/16=1,的焦点F作垂直于X轴的弦,求弦长

Answer 1

x^2/25+y^2/16=1 ①

∴a^2=25,b^2=16

c^2=a^2-b^2=9

∴c=3

∴焦点为(正负3,0)

我们只考虑右焦点(3,0)的情况，左焦点的情况是一样的。

经过右焦点(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x=c=3 ②

联立①②得c^2/a^2+y^2/b^2=1

y^2/b^2=1-c^2/a^2=(a^2-c^2)/a^2=b^2/a^2

∴y^2=b^4/a^2

∴y=正负b^2/a

所以所求为2b^2/a=32/5

===================》2b^2/a这是需要记住的，不过忘了的话你就这样推吧。我个人是推荐记住怎么推导出来就可以了，因为那公式并不是很常用。

另外，双曲线的情况也是一样的，你可以自己推到一下。

Answer 2

设玄长是AB，焦点是右焦点。F(3,0)
设A(5cosα，4sinα)，α∈(0,π/2)
==>5cosα=3
==>cosα=3/5
==>sinα=4/5
==>|AB|=2*4sinα=8*4/5=32/5
椭圆的极坐标表示很管用的，很多时候用起来很方便，可以避免繁琐的运算，不易出错

Answer 3

实际上，过二次双曲线的焦点垂直于对称轴的弦称为二次曲线的通径，其长度为2ep.其中e为离心率，p为焦准距(焦点到对应准线的距离).
在此椭圆中，长半轴长a=5,短半轴长b=4,得半焦距c=3.∴e=3/5,p=a^2/c-c=b^2/c=16/3
∴通径的长等于 2ep=2*(3/5)*(16/3)=32/5.
(通径长公式的来源是根据二次曲线的第二定义：曲线上的点到焦点与到对应准线的距离的比等于离心率－此公式同时适用于椭圆，双曲线和抛物线）.