Question

求常系数微分方程的解——第（2）题，在线等，急！

Answer 1

1. 直接法,将左边的微分运算写作：

   (dx+3)(dx+1)y=exp(-x),其中dx表示对x求微分，而非微分元素(这里不方便输入分式的微分符号)

注意公式：exp(3x)*(dx+3)f=dx(exp(3x)f)=[exp(3x)f(x)]'

原方程两边同时乘以exp(3x)，并且使用这个公式，可得:[exp(3x)*(dx+1)y]'=exp(2x).

2. 将上式积分，可得

exp(3x)*(dx+1)y=exp(2x)/2,即 (dx+1)y=exp(-x)/2

3.再次注意公式exp(x)*(dx+1)f=dx(exp(x)f)=[exp(x)f(x)]'，使用2中的等式，两边同时乘以exp(x),可得[exp(x)*y]'=1/2,积分后，可得exp(x)*y=x/2,或者y=exp(-x)*x/2,这一特解。

4.最后，通解为y=exp(-x)*x/2＋Cexp(-x)+Dexp(-3x)

代入初值条件，可得C+D=1,1=1/2-C-3D.

即C=7/4,D=-3/4