Question

概率论与数理统计的问题，请高手解答

设二维随机向量X,Y概率密度函数为fx(x,y)=4x y 当0<=x <=1,0<=y <=1；0其他
求边缘密度FX(X)FX(Y) ；判断x y 是否对立 ；判断x y 是否相互对立；求X的期望与方差

设连续型随机变量X的分布为F(X)=a+be^(-x^2/2),x>=0;0,其他
求常数a b ；求随机变量x的概率密度函数

设连续型随机变量X的分布为F(X)=1,x>=0;0,其他
求随机变量Y=e^x的概率密度函数FY(Y)

设总体X服从参数λ的泊松分布，它的分布律为P{X=x}=(e^λ^x)/x!x=1,2,3…有了样本x1 ,x2 …Xn之后…求参数λ的极大自然估计

Answer 1

1.fX(x)=∫[0,1]4xydy=2x (0<x<1),其它fX(x)=0
.fY(y)=∫[0,1]4xydx=2y(0<y<1),其它fY(y)=0
因f(x,y)=fX(x)*fY(y)，故X、Y相互独立
E(X)=∫[0,1]x*2xdx=2/3*X^3|[0,1]=2/3
E(X^2)=∫[0,1]x^2*2xdx=1/2*x^4|[0,1]=1/2
D(X)=E(X^2)-E^2(x)=1/2-(2/3)^2=1/18
2.F(0)=a+b=0
F(+∞)=a=1
故a=1,b=-1
f(x)=xe^(-x^2/2)(x>0),其它f(x)=0
3.FY(y)=P(Y<y)=P(e^X<y)
y<=0,FY(y)=0
y>0:FY(y)=P(X<lny)=FX(lny)
lny>0即y>1时FY(y)=1，其它FY(y)=0
X，Y是离散型，没有概率密度函数
4.似然函数：L(x;λ)=∏[1,n]{λ^(xi)/(xi)!*e^(-λ)}
=λ^(nx﹋)*e^(-nλ)*∏[1,n]1/(xi)! (x﹋为样本均值)
lnL=nx﹋lnλ-nλ+ln{∏[1,n]1/(xi)! }
dlnL/dλ=nx﹋/λ-n
令dlnL/dλ=0得：λ=x﹋
即参数λ的极大自然估计为：λ=x﹋