Question

一道线性代数题

A,B,C都是n维方阵,A=B+C,B对称,C反对称,BC=0,A^2=0,证明:A=0.
给个大概思路就好。

Answer 1

我就假设你在实数域了
由A^2=0 你知道 A 特征值都是0 (最小特征向量, 或者你用Jordan分解, 很容易证明 A=PTP^-1)
其中T是对角线为0, 上一对角线不知道, 其余为0的矩阵, 要证明A=0你只需要证明T上一对角线为0, 也就是A可对角化
由A=B+C,B对称,C反对称, 知道 B= (A+A^T)/2 C=(A-A^T)/2
由BC=0,A^2=0, 知道 A^TA = AA^T
满足这种性质的矩阵称为normal matrix, 它的重要特征就是可以对角化(而且P是正交矩阵), 这个你可以参考<matrix analysis> 有专门一章讲 normal matrix