Question

“数列累乘法”怎么运用？

Answer 1

• 把An除过去，An+1/An=n/(n+1) 然后用An-1替换An 依次到A2/A1=1/2
  然后左边城左边右边乘以右边，把相同项约去。

  由a(n+1)/an=n/(n+1)得：

  an/a(n-1)=(n-1)/n

  a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/(n-1)

  a3/a2=2/3

  a2/a1=1/2

  由上n-1个式累乘得an/a1=1/n，a1=2/3

  所以an=2/(3n)

• 数列累乘法的意义是消掉中间项，即消掉a2,a3,a4```a(n-1)，剩下an和a1。

• 数列累加法
  例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an
  解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, …an-an-1=2n-1
  将以上n-1个式子相加可得
  an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1
  注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法
  求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。