Question

f(x)是连续函数，且F(x)=∫(x-t)f(t)dt(上限x，下限0)，则F(X)的二阶导数等

Answer 1

F(x)=∫(上限x下限0)(x-2t)f(t)dt=x∫(上限x下限0)f(t)dt - 2∫(上限x下限0) t f(t)dt
F'(x)= ∫(上限x下限0)f(t)dt + xf(x) - 2xf(x) = ∫(上限x下限0)f(t)dt - xf(x)
当x=0时 F'(0)=0
F"(x)=f(x)-f(x)+xf'(x) 所以 F"(0)=0
所以x=0是F(x)的拐点，不是极值

Answer 2

F(x)=∫<0,x>(x-t)f(t)dt=∫<0,x>xf(t)dt-∫<0,x>tf(t)dt
=x∫<0,x>f(t)dt-∫<0,x>tf(t)dt
所以，F'(x)=[∫<0,x>f(t)dt+xf(x)]-xf(x)=∫<0,x>f(t)dt
则，F''(x)=f(x)