Question

高数题，求解答

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Answer 1

首先设出切点为（a，y(a)），y ' =-2x，则斜率k=-2a，
则切线方程为Y-y(a)=-2a（X-a）☆其中y(a)=1-aa，
求出这个切线与x轴及y轴的交点，假设分别是x0和y0，
则面积S=三角形的面积x0*y0/2 -∫（0到1）【1-xx】dx★
上式中的积分是定值=2/3，所以只要对三角形的面积求最即可。
或者，
面积S(a)=∫（0到a）【切线Y的式子 - 抛物线y的式子即1-xx】dx
+ ∫（0到y(a)）【切线X的式子 - 抛物线x的式子即√1-y】dy★★
对★★来求最小即可。

可以求出，★=★★=(1+aa)^2 /4a -2/3，x0=(1+aa)/2a，y0=1+aa，
求出a=1/√3，最小面积S(a)=4√3 /9 - 2/3，
把a=1/√3代入☆即是所求的切线方程。

Answer 2

把1-cos4Θ展开即可
∫下限0,上限∏/2(1-cos^4 θ)dθ
=∫(1-cos^2 θ)(1+cos^2 θ)dθ
=∫(sin^2 θ)(1+cos^2 θ)dθ
=∫((sin^2 θ) + (sinθcosθ)^2)dθ
=∫((1/2)(1-cos2θ)+(1/4)(sin2θ)^2)dθ
=∫((1/2)-(1/2)cos2θ+(1/8)(1-cos4θ))dθ
=∫((5/8)-(1/2)cos2θ-(1/8)cos4θ)dθ
=(5/8)-(1/4)sin2θ-(1/32)sin4θ 下限0,上限∏/2
=(5/8)(∏/2)
=5∏/16