椭圆的方程为X^2/4+y^2/3=1,若过点（0，1）的直线L与椭圆交AB两点，以AB为直径的圆恰过F1，求直线斜率
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解：设A(x1,yi),B(x2,y2).
依题意，L的斜率是存在的，设为k，则L的方程为:y=kx+1
与椭圆的方程联立，得 (3+4k^2)x^2+8kx-8=0 (*)
易知x1,x2是方程(*)的根，于是 x1+x2= -8k/(3+4k^2)，x1x2= -8/(3+4k^2)
以AB为直径的圆恰过F1(不妨设左焦点)，于是AF1⊥BF1，利用向量数量积等于0得
(-1-x1)(-1-x2)+(-y1)(-y2)=0 即 x1x2+(x1+x2)+1+(kx1+1)(kx2+1)=0
(1+k^2)x1x2+(k+1)(x1+x2)+2=0
即(1+k^2)[ -8/(3+4k^2)]+(k+1)[-8k/(3+4k^2)]+2=0
解之得：k = -1/2
如果F1是右焦点，同理可得，k=1/2
（因为没有说F1是哪个焦点，我采用了不妨设）
依题意，L的斜率是存在的，设为k，则L的方程为:y=kx+1
与椭圆的方程联立，得 (3+4k^2)x^2+8kx-8=0 (*)
易知x1,x2是方程(*)的根，于是 x1+x2= -8k/(3+4k^2)，x1x2= -8/(3+4k^2)
以AB为直径的圆恰过F1(不妨设左焦点)，于是AF1⊥BF1，利用向量数量积等于0得
(-1-x1)(-1-x2)+(-y1)(-y2)=0 即 x1x2+(x1+x2)+1+(kx1+1)(kx2+1)=0
(1+k^2)x1x2+(k+1)(x1+x2)+2=0
即(1+k^2)[ -8/(3+4k^2)]+(k+1)[-8k/(3+4k^2)]+2=0
解之得：k = -1/2
如果F1是右焦点，同理可得，k=1/2
（因为没有说F1是哪个焦点，我采用了不妨设）
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