Question

计算下列n阶行列式

Answer 1

从第n行开始，向上逐行进行，每一行都减去上面一行

1 2 ... n
1 1 ... 1-n
1 1 ... 1
...
1 1-n ... 1
然后第2列开始，每一列都减去第1列，得到
1 1 ... n-1
1 0 ... -n
1 0 ... 0
...
1 -n ... 0
然后从第2列开始，每一列都乘以1/n，加到第1列，得到
1+1/n+2/n+...+(n-1)/n 1 ... n-1
0 0 ... -n
0 0 ... 0
...
0 -n ... 0
再按第1列展开，得到1个n-1阶副对角阵，反复按第1列展开，注意符号，得到
(n+1)/2 * (-n)^(n-1) *(-1)^n*(-1)^(n-1)*...*(-1)^2
=n^(n-1)(n+1)/2