Question

高数微分方程题目

有几点疑问，帮忙解释一下，谢谢
1.不是应该去掉一个积分号，就加一个任意常数C吗，公式里有三个积分号，为什么最后只有一个C
2.∫tanxdx=-ln|cosx|+C
为什么最后一个绝对值号都没有，怎么消了
感谢

Answer 1

(1)不是应该去掉一个积分号，就加一个任意常数C吗，公式里有三个积分号，为什么最后只有
一个C?
答：这是一阶微分方程通解公式，在写这个公式时，就只有一个积分常数，不要把里面的积分
符号看作没写积分常数的不定积分。事实上，不用此公式求解，就知道只有一个积分常数。
(2). ∫tanxdx=∫(sinx/cosx)dx=-∫d(cosx)/cosx=-ln(cosx)+c;
在解微分方程时，一般都不加绝对值符号。
不用上面的公式求通解：
先求齐次方程 y'+ytanx=0的通解：分离变量得 dy/y=-tanxdx；
积分之得 lny=ln(cosx)+lnc=ln(ccosx)；即有齐次方程的通解为 y=ccosx;
将c换成x的函数u，得 y=ucosx.........①；对①取导数得 y'=u'cosx-usinx.........②
将①②代入原式得 u'cosx-usinx+ucosx=cosx；化简得 u'=1，故u=x+c.........③；
将③代入①式即得原方程的通解为：y=(x+c)cosx.

Answer 2

不是去掉一个积分号，就加一个任意常数C, 而是几阶微分方程，应该加几个任意常数。
这是一阶线性微分方程，应加一个常数 C。求通解的公式已加，其它不必再加。
解微分方程时，中间结果，ln 后面可以不加绝对值。

追问

谢谢，为什么tanx积分后把绝对值给去了