求线性代数证明题 线性表出 50
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用反证法，假设线性相关，则存在不全为0的一组数k1,k2,k3,使得
k1α1+k2α2+k3(β1+β2)=0【1】
由于β1可以由α1，α2线性表出，不妨设
β1=m1α1+m2α2
则
k1α1+k2α2+k3(m1α1+m2α2+β2)=0
即
(k1+k3m1)α1+(k2+k3m2)α2=-k3β2
观察上述等式右边，由于β2不能被α1，α2线性表出，则k3=0，
此时k1,k2不能都为0（因为k1,k2,k3是不全为0的一组数）
从而再根据【1】式，得知
k1α1+k2α2=0
则α1,α2线性相关，与题设矛盾！
从而假设不成立，所求结论得证
k1α1+k2α2+k3(β1+β2)=0【1】
由于β1可以由α1，α2线性表出，不妨设
β1=m1α1+m2α2
则
k1α1+k2α2+k3(m1α1+m2α2+β2)=0
即
(k1+k3m1)α1+(k2+k3m2)α2=-k3β2
观察上述等式右边，由于β2不能被α1，α2线性表出，则k3=0，
此时k1,k2不能都为0（因为k1,k2,k3是不全为0的一组数）
从而再根据【1】式，得知
k1α1+k2α2=0
则α1,α2线性相关，与题设矛盾！
从而假设不成立，所求结论得证
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