Question

已知椭圆C的方程为X² /2+y²=1，直线L过右焦点F，与椭圆交于M，N两点。当以线段MN为直径的圆过原

已知椭圆C的方程为X² /2+y²=1，直线L过右焦点F，与椭圆交于M，N两点。当以线段MN为直径的圆过原点时，求直线L的方程。

Answer 1

设直线MN的方程为y=k(x-1)，则：

y=k(x-1) ①

x² /2+y²=1 ②

联立①、②，得：

X² +2k²(x-1)²=2

∴(2k²+1)x²-4k²x+2k²-2=0

设以上方程的两根为x1、x2，则

x1+x2=4k²/(2k²+1)

x1x2=(2k²-2)/(2k²+1)

又∵以MN为直径的圆过原点，

∴x1O⊥x2O

∴x1x2+y1y2=0（y1、y2用x1、x2、k表示出来）

解得k=1，所以直线方程式为y=x-1（可以自己算一下）