Question

初中数学比例线段

如图：在△ABC中，BC=a，（1）若AD1=1/3AB，AE1=1/3AC，则D1E1=
（2）若D1D2=1/3D1B，E1E2=1/3E1C，则D2E2=
（3）若D2D3=1/3D2B，E2E3=1/3E2C，则D3E3=
（4）若Dn-1Dn=1/3Dn-1B，En-1En=1/3En-1C，则DnEn=

Answer 1

（1）
对作△ABC的高，垂足为F，与D1E1交与G，连接D1F与E1F。
对于△AD1F，以AD1作底作△AD1F的高FH，与AD1延长线（就是AB）交与H。可以看出FH同时也是△ABF的高。
因为AD1是AB的1/3，所以△AD1F的面积是△ABF的1/3。
因为AF同时是△AD1F与△ABF的底，所以D1G是BF的1/3。
同理，可以证明E1G是CF的1/3。
所以D1E1是BC的1/3。所以D1E1=1/3a。

（2）
因为D1B=2/3AB，D1D2=1/3D1B，所以D1D2=2/9AB，AD2=5/9AB
同理AE2=5/9AC
证明方法同（1）问，最后得出D2E2=5/9BC=5/9a

（3）
因为D2B=2/3D1B，D2D3=1/3D2B，所以D2D3=2/9D1B=4/27AB，AD3=19/27AB
同理AE3=19/27AC
证明方法同（1）问，最后得出D2E2=5/9BC=15/27a

（4）
ADn+1=AD1+D1D2+...+DnDn+1
=1/3AB+2/3*1/3AB+2/3*2/3*1/3AB+...+(2/3)^n*1/3AB
=[1-(2/3)^(n+1)]AB
同理AEn+1=[1-(2/3)^(n+1)]AC
证明方法同（1）问，最后得出DnDn+1=[1-(2/3)^(n+1)]a

Answer 2

因为O点是不固定的，所以EF与BC的关系也不一定，且E，F的位置不确定