Question

求下列齐次方程的通解，第(4)道 求大神解，谢谢

Answer 1

令y/x＝u，则：y＝xu，
∴y′＝u＋xu′＝y/［x＋√（x^2＋y^2）］＝（y/x）/｛1＋√［1＋（y/x）^2］｝，
∴u＋xu′＝u/［1＋√（1＋u^2）］，
∴xu′＝u/［1＋√（1＋u^2）］－u＝－u√（1＋u^2）/［1＋√（1＋u^2）］，
∴｛［1＋√（1＋u^2）］/［u√（1＋u^2）］｝du＝－（1/x）dx，
∴｛1/［u√（1＋u^2）］｝du＋（1/u）du＝－（1/x）dx，
∴－ln｜x｜＝ln｜u｜＋∫｛1/［u√（1＋u^2）］｝du，
∴－ln｜x｜＝ln｜u｜＋∫（1/u^2）d［√（1＋u^2）］。
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令√（1＋u^2）＝t，则：u^2＝t^2－1，
∴－ln｜x｜＝ln｜u｜＋∫［1/（t^2－1）］dt，
∴－ln｜x｜＝ln｜u｜＋（1/2）∫［1/（t－1）－1/（t＋1）］dt，
∴－ln｜x｜＝ln｜u｜＋（1/2）ln｜t－1｜－（1/2）ln｜t＋1｜＋C，
∴－ln｜x｜＝ln｜u｜＋（1/2）ln｜（t－1）/（t＋1）｜＋C，
∴－ln｜x｜＝ln｜u｜＋（1/2）ln｜（t－1）^2/（t^2－1）｜＋C，
∴－ln｜x｜＝ln｜u｜＋ln｜（t－1）/u｜＋C，
∴－ln｜x｜＝ln［｜u｜｜（t－1）/u｜］＋C，
∴－ln｜x｜＝ln｜t－1｜＋C，
∴－ln｜x｜＝ln｜√（1＋u^2）－1｜＋C，
∴－ln｜x｜＝ln｜√［1＋（y/x）^2－1｜＋C，
∴ln｜√（x^2＋y^2）－x｜＝C，
∴√（x^2＋y^2）＝x＋C。
∴原微分方程的通解是：√（x^2＋y^2）＝x＋C。