Question

无数个无穷小量的乘积一定是无穷小量吗

Answer 1

不一定，详情如图所示

Answer 2

不一定
我以函数来举例

给定一列无穷小函数(x→0时):x,2x,3x,...nx,...
相乘,前n项的积为n!x^n

这里涉及到两个极限过程,一是无穷小,即x→0的过程,二是无数个,即n→∞的过程.因为你要求证的是"无数个无穷小相乘,结果是否还为无穷小",即你需要在这无数个函数相乘以后,再令x→0看看极限是否为0,因此我们的极限过程是先令n→∞,再令x→0.

当n→∞时,x可以看成一个小于1的常数(因为x→0,所以先设定|x|<1).这是∞*0型,因为阶乘函数的增长速度要比指数函数快,所以结果是∞,即对任何x≠0而言,这无数个无穷小x,2x,3x,4x,...相乘的结果都是∞,不再是0