Question

求助一道数学证明题

Answer 1

显然，当k≧3时，有k＞1＋√2，∴2k－2√2－2＞0，∴（4－2）k－√2（2＋√2）＞0，
∴（2＋√2）（2－√2）k－√2（2＋√2）＞0，∴（2－√2）k－√2＞0，
∴2k－√2（k＋1）＞0，∴［2k－√2（k＋1）］√［2^（k－1）］＞0，
∴1＋［2k－√2（k＋1）］√［2^（k－1）］＞0，
∴1＋2k√［2^（k－1）］＞√2（k＋1）］√［2^（k－1）］，
∴2＋2k√［2^（k－1）］＞1＋√2（k＋1）］√［2^（k－1）］，
∴2｛1＋k√［2^（k－1）］｝＞1＋（k＋1）√（2^k）。
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以下利用数学归纳法证明：2^n≧1＋n√［2^（n－1）］。
①当n＝1时，2^n＝2、1＋n√［2^（n－1）］＝2，此时2^n＝1＋n√［2^（n－1）］。
②当n＝2时，2^n＝4、1＋n√［2^（n－1）］＝1＋2√2，
∵9＞8，∴3＞2√2，∴4＞1＋2√2，∴此时2^n＞1＋n√［2^（n－1）］。
③设n＝k（其中k≧3），有：2^n＞1＋n√［2^（n－1）］，
即有：2^k＞1＋k√［2^（k－1）］。
④当n＝k＋1时，
2^n＝2^（k＋1）＝2·2^k＞2｛1＋k√［2^（k－1）］｝，
而1＋n√［2^（n－1）］＝1＋（k＋1）√（2^k），
又2｛1＋k√［2^（k－1）］｝＞1＋（k＋1）√（2^k），
∴此时有：2^n＞1＋n√［2^（n－1）］。
于是，原不等式得证。

Answer 2

想证明什么呢？是证明这道题是错误的吗？n是正整数2的 n次方只能大于1不能等于1