Question

已知动点P到定直线x=-2的距离与定点F（1，0）的距离的差为1.

已知动点P到定直线x=-2的距离与定点F（1，0）的距离的差为1.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若O为原点，A、B是动点P的轨迹上的两点，且三角形AOB的面积为m*tanAOB，求m的最小值
（3）求证：在（2）的条件下，直线AB恒过一定点，并求出此定点的坐标。

Answer 1

解：
(1)
设动点P的坐标为(x,y)
(x+2-1)²=(x-1)²+y²
(x+1)²=(x-1)²+y²
x²+2x+1=x²-2x+1+y²
y²=4x
(2)
设A点坐标为(a²/4,a) B点坐标为(b²/4,b)
S=(|OA||OB|sin∠AOB)/2=mtan∠AOB
2m=|OA||OB|cos∠AOB
2m=向量积OA OB
2m=a²b²/16+ab
m=(ab+8)²/32-2
所以当ab=-8时 m取得最小值，最小值为-2

(3)
因为ab=-8 所以a≠b
所以有两点式直线方程
y-a=(a-b)(x-a²/4)/(a²/4-b²/4)
y-a=4(x-a²/4)/(a+b)
y=4(x-a²/4)/(a+b)-a
y=[4x-a²-a(a+b)/(a+b)]
y=(4x-ab)(a+b)
根据(2)的结论ab=8代入得
y=4(x-2)/(a+b)
可得出AB过定点(2,0)

Answer 2

1.p(x,y),(x-1)^2+y^2=(x+2-1)^2解得y^2=4X

Answer 3

(2)设A（x1,y1).B(x2,y2)
S三角形AOB=1/2 × （x1²+y2²)×(x2²+y2²)×sinAOB
∴m=(x1x2+y1y2)÷2=(x1x1±√x1x2)/4=1/2(√x1x1±2)²-2
∴m最小值为-2

Answer 4

真不简单!