Question

高数问题 求解答

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Answer 1

分享一种解法。第1题，f(x)=1/(4+5x)=1/[9+5(x-1)]=(1/9)/[1+5(x-1)/9]。
当丨5(x-1)/9丨<1时，1/[1+5(x-1)/9]=∑[-5(x-1)/9]^n,n=0,1,2,……。
∴f(x)=∑[-5(x-1)]^n/9^(n+1)。其中，丨5(x-1)/9丨<1，n=0,1,2,…，∞。
第2题，应用间接展开法求解。由f(x)对x求导，有f'(x)=1/√(1+x²)=(1+x²)^(-1/2)。
应用广义二项展开式“(1+x)^α=1+αx+[α(α-1)/2!]x²+[α(α-1)(α-2)/3!]x³+……=1+∑[α(α-1)(α-2)…(α-n+1)/n!]x^n，n=1,2，……，∞”。令α=-1/2，x换成x²、经整理，
有f'(x)=(1+x²)^(-1/2)=1+∑[(-1)^n][(2n-1)!!][x^(2n)]/[(2n)!!]。
∴f(x)=∫(0,x)f'(x)dx=x+∑[(-1)^n][(2n-1)!!][x^(2n+1)]/{[(2n)!!](2n+1)}，其中x∈R，n=1,2，……，∞。
供参考。

Answer 2