大学高数问题求解要详细过程 20
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没上过大学不懂
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∑：z=√(1-x^2-y^2)，则∑在xoy平面上的投影D为x^2+y^2<=1
∂z/∂x=-x/√(1-x^2-y^2)，∂z/∂y=-y/√(1-x^2-y^2)
原式=∫∫(D) x^2*√(1-x^2-y^2)*√[1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2]dxdy
=∫∫(D) x^2*√(1-x^2-y^2)*√[1+x^2/(1-x^2-y^2)+y^2/(1-x^2-y^2)]dxdy
=∫∫(D) x^2*dxdy
=∫(0,2π)dk*∫(0,1)p^3*cos^2k*dp
=(1/8)*∫(0,2π)(1+cos2k)dk*p^4|(0,1)
=(1/8)*[k+(1/2)*sin2k]|(0,2π)
=π/4
∂z/∂x=-x/√(1-x^2-y^2)，∂z/∂y=-y/√(1-x^2-y^2)
原式=∫∫(D) x^2*√(1-x^2-y^2)*√[1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2]dxdy
=∫∫(D) x^2*√(1-x^2-y^2)*√[1+x^2/(1-x^2-y^2)+y^2/(1-x^2-y^2)]dxdy
=∫∫(D) x^2*dxdy
=∫(0,2π)dk*∫(0,1)p^3*cos^2k*dp
=(1/8)*∫(0,2π)(1+cos2k)dk*p^4|(0,1)
=(1/8)*[k+(1/2)*sin2k]|(0,2π)
=π/4
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