Question

抛物线y=ax^2+bx+c与x轴相交于A、B两点(点A、点B分别在坐标原点O的左、右两侧)，与y轴正半轴交于点C

且OB/OC=OC/OA=1/2,三角形ABC面积为20
（1）求这个抛物线解析式
（2）在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得直线PO与线段AC交于点D，且以D、A、O为顶点的三角形恰好与△ABC相似？若存在，求出符合条件的点P坐标，若不存在
，说明理由

Answer 1

解：（1）由题：令点C的坐标为;C(0, m) (m>0) 则，OC=m

     因为，OB/OC=OC/OA=1/2

    所以，点A、点B的坐标为A（-2m, 0) , B( m/2, 0)

            AB=[m/2-(-2m)]=5m/2

      因为，三角形ABC面积为20

     所以,(1/2)*(5m/2)*m=20

      解之，m=4

   所以，点A、点B的坐标为A(-8, 0)  B( 2, 0)  C(0, 4)

    设，y=a(x-2)(x+8)   将点C(0, 4)代入,得：a=-1/4

 所以，所求的抛物线解析式为： y=(-1/4)(x-2)(x+8)  

                                               即： y=(-1/4)x²-3x/2+4----------------------------(1)

（2）如图：Kbc=-2

    所以，设OP的方程：y=-2x  ------------------------------------(2)

     解（1）和（2）得：x²-2x-16=0

            x1=1+根号17 （不合 题意舍去），x2=1-根号17

       y=-2x =-2(1-根号17)=-2+根号17

   所以，存在以D、A、O为顶点的三角形恰好与△ABC相似。

            点P坐标为：P(1-根号17,  -2+根号17)