Question

如图,二次函数y=x的平方+bx+c的图像顶点在x轴上,与y轴交与点Q,过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A，与这个二次

数的图像交与另一个点B。若三角形BPQ的面积等于3倍三角形APQ的面积，求这个二次函数的解析式

Answer 1

解:依题意Q(0,m),代入抛物线得,c=m
因为三角形BPQ的面积等于3倍三角形APQ的面积,
所以三角形ABP的面积等于4倍三角形APQ的面积,
而三角形ABP和三角形APQ是同底三角形,
所以点B在纵坐标为4m,
将4m代入到y=2x+m,得x=3m/2,
所以B(3m/2,4m),代入到抛物线y=x^2+bx+c,得,
9m^2/4+3mb/2+m=4m,
整理:得,
m=(4-2b)/3,
又图像顶点在x轴上,所以判别式=0，
即b^2-4ac=0,
整理,b^2-4m=0,将m=(4-2b)/3代入得,
3b^2+8b-16=0,
(3m-4)(m+4)=0,
所以m1=4/3,m2=-4
因为b^2=4m≥0，
所以m≥0，
所以m=c=4/3,b=±4√3/3 (因对称轴>0，b取负)
所以y=x^2-4√3/3+4/3

Answer 2

设二次函数的解析式为y=(x-n)^2 顶点式 设p的坐标为（n，0）

x=0时，y=n^2 Q（0，n^2）y=2x+n^2
把二次函数y=(x-n)^2 和一次函数y=2x+n^2联立，求的两个函数的坐标为x=0 和x=2（n+1）
x=2(n+1)带入直线y=2x+n^2
解得 y=（n+2）^2
过B点做BC垂直于x轴于c点

0Q/BC=1/4
n^2/(n+2)^2=1/4
n=2 或者 n=-2/3 因为n>0 所以舍去
把n=2带入二次函数 解得y=x^2-4x+4 即为所求