Question

已知f（x）=(10^x-10^-x)/10^x+10^-x 1.证明f（x）是定义域内的增函数 2.求f（x）的值域

Answer 1

对f(x)求导得f'(x)=ln100*(10^x)/(10^x+10^-x)^2
这表达式恒大于0
故知f(x)是定义域上的增函数
因为f(x)是增函数，那么其值域就是：
当x取负无穷时，f(x)取最小值为-1；
x取正无穷时，f(x)取最大值1，故值域是(-1,1).

Answer 2

（1）f(x)=(10^x-10^-x)/(10^x+10^-x)=1-2*1/(10^x+10^-x)
用-x代替x,得：f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数
易得f(x)的定义域为
负无穷到正无穷
设0
0时是增函数
（2）值域为f(x)>-1

Answer 3

f(x)上下乘10^x
f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1)=(10^2x+1-2)/(10^2x+1)
=(10^2x+1)/(10^2x+1)-2/(10^2x+1)
=1-2/(10^2x+1)
因为10^2x>0,所以
分母
不为0
所以
定义域
是R
令a>b
则f(a)-f(b)=1-2/(10^2a+1)-1+2/(10^2b+1)
=2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)
分母显然大于0
(10^2a+1)-(10^2b+1)=10^2a-10^2b
a>b,2a>2b
所以10^2a-10^2b>0
所以2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)>0
即a>b时
f(a)>f(b)
所以f(x)是定义域内的
增函数

f(x)=1-2/(10^2x+1)
10^2x>0
10^2x+1>1
所以0<1/(10^2x+1)<1
-2<-2/(10^2x+1)<0
1-2<1-2/(10^2x+1)<1+0
所以值域(-1,1)