Question

高中数学 求详细过程 感谢！！

Answer 1

这道题是考查解析几何相关问题。

1）求出椭圆方程。椭圆方程一共有两个未知数，a和b，题目中正好给了两个条件，所以可以提前知道是可以求出方程的（有时候题目不一定给出足够的条件求出圆锥曲线的方程，这时候就要靠一些性质继续做题）

首先知道椭圆过（0，-1）这一点。把这一点带入方程得到1/b^2=1，所以b^2=1，b=1。椭圆的短轴是1，和y轴相交于（0，1）（0，-1）这两点。

接着看离心率的条件。离心率的定义是c/a，其中c是焦点的位置，c^2=a^2-b^2。这里已知b=1，所以c^2=a^2-1。又因为c/a=2分之根号二，所以c^/a^2=1/2，带入c^2=a^2-1可以得出a^2=2，c^2=1。至此我们得到了椭圆的完整信息：

a=根号2
b=1，
c=1。

椭圆方程就是x^2/2+y^2=1。

2）求出m的值。最简单的是用解析几何的方法。已知直线方程是y=k(x-1)，和椭圆方程联立，求出点M N的坐标：

x^2/2+k^2（x-1）^2=1。

这是一个一元二次方程，可以求出解析解：
两个根是
x=（4k^2 +/- 2）/（2a）
分别再求出y可以知道M点 N点坐标分别是：
(（2k^2+1)/a, (2k^2+1-a)k/a )
(（2k^2-1)/a, (2k^2-1-a)k/a )
这时候再利用角度相等的条件写出最后一个方程：

过M和N分别做平行x轴的直线，过P做平行y轴的直线，形成的两个顶点相对的三角形是相似的。这个相似性和条件里的角度平分是等价的。

所以有：
|yM|/|yN|= (m-xM)/(m-xN)

根据这个关系和M N P三点的坐标列式，可以得到一个含有k m和a的关系式：

（2k^2+1-a）/（2k^2-1-a）= （ma-2k^2-1）/（ma-2k^2+1）

解出m=-1/（2k^2）。（你可以再自己算一下，我就算了一遍可能有一点偏差，不过思路是对的）

追问

非常感谢！