Question

高数题求大佬解答

计算三重积分∫∫∫xdxdydz,其中Ω是由三个坐标面及平面2x+y+z=1所围成的闭区域

Answer 1

解：由题可知，Ω可以表示为：
0≤x≤1/2，
0≤y≤1-2x，
0≤z≤1-2x-y，
所以所求三重积分可计算如下：
ʃʃʃΩ xdxdydz
＝ʃ₀¹⸍²xdxʃ₀¹ᐨ²ˣdyʃ₀¹ᐨ²ˣᐨʸdz
＝ʃ₀¹⸍²xdxʃ₀¹ᐨ²ˣ(1-2x-y)dy
＝ʃ₀¹⸍²x[(1-2x)y-y²/2]₀¹ᐨ²ˣdx
＝ʃ₀¹⸍²x[(1-2x)²/2]dx
＝ʃ₀¹⸍²(x/2-2x²+2x³)dx
＝(x²/4-2x³/3+x⁴/2)|₀¹⸍²
＝1/16-1/12+1/32
＝1/96 .

Answer 2

∫∫∫<Ω>xdxdydz = ∫<0, 1>dz∫<0, 1-z>dy∫<0, (1-y-z)/2>xdx
= (1/2)∫<0, 1>dz∫<0, 1-z>dy[x^2]<0, (1-y-z)/2>
= (1/8)∫<0, 1>dz∫<0, 1-z>(1-y-z)^2dy
= (-1/24)∫<0, 1>dz[(1-y-z)^3]<0, 1-z>
= (1/24)∫<0, 1>(1-z)^4dz
= (-1/120)[(1-z)^5]<0, 1> = 1/120