Question

已知 （3+x）^n 的展开式中所有奇数项系数之和为496，则其展开式中x^3的系数为多少？

如图

Answer 1

应该图片中的是偶数项吧，奇数项求不出来。
令f(x)=(3+x)^n，则f(1)=(3+1)^n=4^n
令g(x)=(3-x)^n，则g(1)=(3-1)^n=2^n
∵f(x)的展开式和g(x)的展开式中的偶数项对应系数互为相反数
∴(3+x)^n的奇数项系数之和=(4^n - 2^n)/2
则(4^n - 2^n)/2=496
4^n - 2^n - 992=0
(2^n - 32)(2^n + 31)=0
∴2^n=32或2^n=-31(舍)
∴n=5
根据二项式展开式的通项公式：