Question

求助一道大学高等数学题目！！

题目如题 麻烦大家教教！谢谢！

Answer 1

主要用来求7种未定式极限，直接用在0/0型和∞/∞型。要求g'(x)≠0且limf'(x)/g'(x)存在
由lim(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3
得lim[ln(1+x+f(x)/x)/x]=3
lim(x+f(x)/x)=0,lim(f(x)/x)=0,f(0)=0
由lim[ln(1+x+f(x)/x)/x]=3
得lim{1+[xf'(x)-f(x)]/x^2}/[1+x+f(x)/x]=3
lim[xf'(x)-f(x)]/x^2=2 (因lim[f(x)/x]=0)
lim[f'(x)-f(x)/x]/x=2,f'(0)=0
由lim[xf'(x)-f(x)]/x^2=2
得lim[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/(2x)=2
limf''(x)=4,f''(0)=4
limln[1+f(x)/x]/x=lim{[xf'(x)-f(x)]/x^2}/[1+f(x)/x]
=lim[xf'(x)-f(x)]/[x^2+xf(x)]
=lim[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/[2x+f(x)+xf'(x)]
=limf''(x)/[2+f(x)/x+f'(x)]=4/2=2
故lim[1+f(x)/x]^(1/x)=e^2

Answer 2

0,0,4，e^2，我不确定是不是对的，我是这样做的
现对两边求对数，然后用罗比达法则
用罗比达法则要注意f(x)=g(x)=0,则可以求得f(0),f'(0),至于f''(x)可以用f''(x)=f'(x)/x,x->0时求得

Answer 3

根据Lim(1+1/x)^x
x趋于无穷=e
令[x^2+f(x)]/x=t
1/x=t/[x^2+f(x)]=t^3
则1/[x^2+f(x)]=t^2=[x^2+f(x)]^2/x^2
[x^2+f(x)]^3=x^2
x^2+f(x)=x^(2/3)
f(x)=x^(2/3)-x^2
f(0)=0
f'(x)=(2/3)x^(-1/3)-2x
f'(0)=无意义
f''(0)=(-2/9)x^(-4/3)-2
f''(0)=无意义

Answer 4

f(0)=f'(0)=0,f''(x)=4, =e^2
答案不知道对否。。。。。