Question

高数第一章的问题

f(x)在【0，1】上连续，且f(0)=f(1)。证明：存在c∈(0，3/4)，使得f(c)=f(c+1/1). 求大神解答

Answer 1

后面是 f(c+1/4) 吧？
证明：考察函数 F(x) = f(x) - f(x+1/2)，
它在 [0，1/2] 上连续，且 F(0) = f(0)-f(1/2)，F(1/2) = f(1/2)-f(1) = -F(0)，
因此存在 a∈[0，1/2] 使 F(a) = f(a)-f(a+1/2) = 0，也即 f(a) = f(a+1/2)，
现在考察函数 G(x) = f(x)-f(x+1/4)，
它在 [a，a+1/4]（包含于（0，3/4））上连续，且 G(a) = f(a)-f(a+1/4)，
G(a+1/4) = f(a+1/4)-f(a+1/2) = -G(a)，
因此存在 c∈[a，a+1/4]包含于（0，3/4）使 G(c) = 0，
即 f(c) = f(c+1/4) 。

Answer 2

后面这个式子有问题吧。