Question

线性代数 例3.11中为什么要令行列式得0呢？

这里是怎么想到要令行列式得0的呢？为什么不是大于0或小于0呢？谢谢

Answer 1

α1，α2，α3，线性无关，那么他们的线性组合是相关还是无关呢？显然跟如何组合有关系，比如我这样组合，β1=α1+α2，β2=α1+α2，β3=α1+α2；那我问你β1，β2，β3是相关还是无关呢？你能迅速的答出他们相关对吧。
深究一下，其实他们这种组合方式是不是可以写成一个转换矩阵呢？比如我这个例子能写出一个3*3的矩阵，前两行都是1，第三行是0，可以看出这个矩阵不满秩，那么组合后的向量组相关还是无关是不是跟这个矩阵有什么联系呢？联系是什么呢？
其实你还可以再举个例子，β4=α1，β5=α2，β6=α3，那我问你β4，β5，β6是相关还是无关呢？你也能很快答出是无关，同样的，你再把它所用的转换矩阵写一下，就会发现是一个单位矩阵E。
OK，到现在你应该可以总结出规律了，一组无关乘上一个什么样的矩阵得到的还是无关呢？答：是满秩矩阵，那么乘上什么样的矩阵得到的是相关呢？答：是不满秩，这个题就是这样子，一组无关乘上一个矩阵A得到了一组相关向量组，那说明A不满秩，即A行列式=0,（这是个结论，并不是人家人为把A令成0的）
所谓矩阵A满秩，等价于行列式A不等于0，等价于Ax=0有唯一0解，等价于A可逆，等价于Ax=b有唯一解，等价于A的所有特征值不为0，等价于A的二次型正负惯性指数之和等于n（n指的是列），其实还有好多等价，常用的就这些。
线性代数好好学，从第一章行列式到最后的二次型、合同、正定都可以联系起来的，整本书从头到尾都是融会贯通的。

追问

好的，感谢您的回答

Answer 2

题中条件是 β1，β2， β3 线性相关， 则行列式 |β1，β2， β3| = 0
而 α1， α2， α3 线性无关， 则 |α1， α2， α3| ≠ 0
（β1，β2， β3） = （α1， α2， α3）P， P 代表那个变换矩阵
|β1，β2， β3| = |α1， α2， α3| |P| = 0， 只有 |P| = 0

Answer 3

行列式为0则矩阵不满秩

追问

感谢您的回答，您能详细解释一下什么意思嘛？

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