Question

2019高考数学第18题第二问

x＝√3和法向量n怎么得出来的呀？





Answer 1

由那两个方程，得出，它的解不确定。因为面的法向量有无数个，所以假设x=√3这是可以的，。至于后面的那个你把底面画出来就可以看出来了。

追问

您说的我明白了，但二面角的计算必须是两条法向量线相交形成的角来推算，本题中的一条法线m可以随便设定，但另一条法线n必须和m相交才能形成夹角，那法线n的空间坐标如何推断？

至于你说的把底面画出来就能看出来了，如何画怎么画，不太懂，您能否赐教

再问一下，法向量n→（1，0，0）怎么得来的

追答

因为ABCD为菱形
所以AB//CD
因为这是个直四棱柱
所以AA1垂直ABCD
所以AA1M与yoz平行

追问

谢谢，也就是说X轴是垂直于AA1M面，那么X轴可以算作AA1M面的法线

再问一下法线n→（-1，0，0）中的X轴坐标-1怎么得来的呀？

Answer 2

两个方程，三个未知数，有无数组解。所以这时候可以选定一个未知数（一般是选z=1），这样一来未知数就只有x和y了，就有唯一解了。
但z=1也不是唯一的，根据方程的特性，如果解得x和y是分数，比如x=y=1/2，那这时候可以令z=2，这样一来x=y=1。去分母之后对于模的计算和内积计算会方便很多

追问

二面角的计算是通过两个平面的法向量线m和n的夹角来推算的，现在法线m的空间几何位置确定了，但另一条法线n必须要与另一条法线m相交，才能推算出二面角的cos角，所以另一条法线n的空间几何位置如何推导？

追答

m和n的起点都是坐标原点O啊，还不相交吗？

追问

不是m点和n点，而是过平面A1MD的法向量线m和过平面A1MA的法向量线n

要求二面角的余弦角大小必须是过两平面的法线相交构成四边形，因为法线过平面垂直，所以四边形的两个法线对角想加等于180度，剩下的两面角和法线相交的夹角互补，只有这样才能求二面角，所以说法线m和法线n必须相交

现在法线m坐标有了，法线n如果要和m相交，那么它空间坐标怎么推导出来的，我就卡在这块了

你想想平面A1MD垂直穿过一根直线，它怎么能过零点呢

追答

你在说什么，向量(x,y,z)指的就是起点为原点，终点为(x,y,z)的向量好吧？比如你求法向量n→=(1,2,3)，你不用管平面的位置，这个n→一定是起点在原点，终点是(1,2,3)啊

而且平面A1MD是无限延伸的，垂直于这个平面的直线也有无数条，它有一条垂线过原点又怎么了？

追问

哦，懂了，谢谢

那n→（-1，0，0）怎么得出来的

那n→（-1，0，0）中的X轴坐标-1怎么得来的呀？

追答

哪里有(-1,0,0)的

追问

是n→（1，0，0）

X轴坐标1怎么来的

追答

平面AA1M就是平面AA1B1B，它垂直于x轴啊，x轴不就是(1,0,0)吗？如果有垂直于坐标轴的平面，那这个法向量就太好找了，你们老师上课都在教些什么？

追问

不是老师毛病，是我自己卡壳了

谢谢您，蒙住了

Answer 3

法向量只是满足图示关系
你令x等与根3 y z就出来了 法向量就出来了

追问

二面角的推算是以过其两平面的法线形成的夹角来推导的，现在其中一条法线m的空间几何位置（√3，-1，-1）出来了，但另一条法线n必须得和法线m相交，那n（-1，0，0）的几何位置如何计算出来的

问一下，法向量n→（-1，0，0）怎么得来的

追答

n不用和m相交..

maa1的法向量很容易可以看出 n等于（x，0，0） x为任意数

追问

哦！谢谢

追答

不用谢