为什么初等行变换不改变矩阵的列秩？
任意初等变换，都不改变矩阵的秩，矩阵行向量组的秩=矩阵列向量组的秩=矩阵的秩。
引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零。
扩展资料：
m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2.A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
参考资料来源：百度百科-矩阵的秩
图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
因为对矩阵做初等行变换，就相当于对齐次线性方程组做同解变换。而方程组同解时，当然它的秩（即独立方程的个数）就不会变。
一般采用消元法来解线性方程组，而消元法实际上是反复对方程进行变换，而所做的变换也只是以下三种基本的变换所构成：
（1）用一非零的数乘以某一方程
（2）把一个方程的倍数加到另一个方程
（3）互换两个方程的位置
于是，将变换（1）、（2）、（3）称为线性方程组的初等变换。
扩展资料
定义：所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列3种变换：
1、以P中一个非零的数乘矩阵的某一行；
2、把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中的任意一个数；
3、互换矩阵中两行的位置；
一般来说，一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵，当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，一般写作。
可以证明：任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。
参考资料来源：百度百科-初等变换
行秩等于列秩，行变换不改变行秩（这个线性无关定义很好说明），列秩也不变
用某一个vi = ui + kuj j不等于i 来代替ui 后这n个向量仍然是线性无关的。对应的就是(非交换的)初等变换 保持 行（列）向量组 的线性无关性。
同理 可以证明，（非交换的)初等变换 保持 行（列）向量组 的 线性相关性。
所以显然，原本的极大无关组 不会因为 非交换的初等变换而在位置、长度上发生变化，所以秩是不变的。
扩展资料：
A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。
参考资料来源：百度百科-矩阵的秩
矩阵行向量组的秩=矩阵列向量组的秩=矩阵的秩。
初等行变换，不仅不改变列向量组的秩，还不改变列向量之间的线性关系（包括相关/不相关和相关时的表示系数）。
其实这个，你只要回归线性方程组，就很好理解。（线性代数，其实就是把线性方程组等问题的系数单独抽出来研究而已）
设想你初中学的解线性方程组。那种方程两边同乘非零系数，两方程相加/减等等操作，其实不就是这些初等行变换么？
