Question

数学题1/(1-x)=1+x+x²+...+x^n+...(-1<x<1)

高数，为什么1/(1-x)=1+x+x²+...+x^n+...(-1<x<1)？

Answer 1

容易证明,该广义积分收敛,那么就可以用无穷级数展开 ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-…… ln(1-x)/x=-1-x/2-x^2/3-x^3/4-……=-∑[n从0到∞] x^n/(n+1) ∫[0->1] -∑[n从0到∞] x^n/(n+1)=-∑[n从0到∞]x^(n+1)/(n+1)2 | [0->1] =-∑[n从0到∞] 1/(n+1)2 =-(1+1/22+1/32+1/42+……)=-π2/6 而且这是spence function,原式=-Li2(1)=-π2/6

Answer 2

Answer 3