Question

三角形面积最大值

Answer 1

△BCD的底BC固定，其高DE最大时面积最大。A点在以C为圆心，半径1的圆上运动。设∠BCA=α，∠ABC=β，在△ABC内用余弦定理：

AB²=1²+2²-2×1×2cosα=5-4cosα

正弦定理：

sinβ=sinα/√（5-4cosα）

cosβ=√[1-sin²α/（5-4cosα）]

=√（5-4cosα-sin²α）/√（5-4cosα）

=√（4-4cosα+cos²α）/√（5-4cosα）

=（2-cosα）/√（5-4cosα）

DE=ABsin（60°+β）=√（5-4cosα）sin（60°+β）

=√（5-4cosα）[sin60°cosβ+cos60°sinβ]

=√（5-4cosα）[√3/2.cosβ+1/2.sinβ]

=（1/2）[√3（2-cosα）+sinα]

=（1/2）[2√3-√3cosα+sinα]

=√3+（1/2.sinα-√3/2.cosα）

=√3+（cos60°sinα-sin60°.cosα）

=√3+sin（α-60°）

α-60°=90°，α=150°时，面积最大：

DEmax=1+√3，

面积=（1+√3）×2/2=1+√3

Answer 2

解：根据海伦公式S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p为周长的一半，abc为三角形边长。因为p为常数，根据不等式的知识，三个正数和一定，则三个数相等的时候乘积最大。可得知S最大时，a=b=c。综上可得当周长为给定常数时，等边三角形的面积最大。

Answer 3

当∠B=∠C三角形面积最大：
s=a^2sinBsinC/(2sinA)
=18(sinB)^2/sinA
又由已知：tanA=3/4
得：sinA=3/5，cosA=4/5
sinB=sin(90°-A/2)=cos(A/2)
由半角公式得：(sinB)^2=(1+cosA)/2=9/10
所以最大面积是：s=18*(9/10)/(3/5)=9*3=27