Question

线性代数 线性方程组的问题，设α1α2α3是四元非齐次方程组ax＝b的三个解向量？

这一题的齐通，非奇特是怎么来的？为什么要相减，为什么有1/2？

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Answer 1

我来解释一下吧：
通解：非齐次线性方程组先求他导出的齐次线性方程组的通解，既然a1 a2 a3都是他的解，显然由AX=0可以得到Aa1=Aa2=Aa3=0，所以A（a1-a2）=A（a2-a3）=A（a3-a2）=0他们两两相减都是AX=0的通解，但是题目中给的条件是a1+a2，a2+a3，怎么化成上面的两两相减，你那（a1+a2）-（a2+a3）做通解要没问题，我们只要保证满足AX=0就OK
特解：同理a1 a2 a3是AX=b的解，那么我能不能得到Aa1=Aa2=Aa3=b，题目给你a1+a2，a2+a3，那么A（a1+a2）=2b，A（a2+a3）=2b，要满足AX=b，你说要不要乘以1/2。

Answer 2

解的性质：
①若α1，α2是Ax=0的解，则k1α1+k2α2仍是Ax=0的解
②若α1，α2是Ax=b的解，则α1-α2是Ax=0的解
③若α1是Ax=0的解，α2是Ax=b的解，则α1+α2是Ax=b的解
你这题
α1，α2，α3是Ax=b的解，由性质②得：α3-α1是Ax=0的解，即这题的基础解系；
同理α2-α3是Ax=0的解，由性质①得：1/2(α2-α3)也是Ax=0的解，
又因为α3是Ax=b的解，
所以由性质③得：1/2(α2-α3)+α3=1/2(α2+α3)是Ax=b的解，即这题的特解
我个人是这样理解的，答案那样直接写真是让人摸不着头脑

追问

由性质2得到的α3-α1以及α2-α3，是一定是α3-α1或者是别的吗？视什么而定

追答

不是，α1，α2，α3任意两个相减都是Ax=0的解

Answer 3

R(A)=3, 则 Ax=0 的基础解系含 4-3=1 个向量
而 (a2+a3)-2a1 = (1,1,1,1)^T 是 Ax=0 的非零解,
故是 基础解系
所以通解为 a1 + k(1,1,1,1)^T